Translation - Math'φsics

Translation

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Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition
Définition :
L'application \({{T_{\vec u} }}:A\mapsto {{A+\vec u}}\) est appelée translation par \(\vec u\)

Propriétés

Translation triviale
Proposition :
Nous avons \(T_{ {{\vec0}} }={{\operatorname{Id}}}\)
On appelle cette translation la translation triviale

Montrer que \(T_{\vec0}=\operatorname{Id}\)

$$\begin{align}&A+\vec 0=B\\ \iff&\vec A+\vec0=\vec B\\ \iff&\vec A=\vec B\\ \iff& T_{\vec0}(A)=A\end{align}$$

Composition
Proposition : $$T_{\vec u}\circ T_{\vec v}={{T_{\vec v}\circ T_{\vec u} }}={{T_{\vec u+\vec v} }}$$
(Composition, Commutativité - Symétrie)

isométrie et translation inverse
Proposition :
Pour tout vecteur \(\vec u\), la translation \(T_\vec u\) est une isométrie, avec $${{T^{-1}_\vec u}}={{T_{-\vec u} }}$$

Montrer que pour tout vecteur \(\vec u\), la translation \(T_\vec u\) est une isométrie

$$\begin{align}\forall A, B,&&T_\vec u(A)-T_\vec u(B)&=\lVert\overrightarrow{(A+\vec u)(B+\vec u)}\rVert\\ &&&=\lVert\overrightarrow{(B+\vec u)}-\overrightarrow{(A+\vec u)}\rVert\\ &&&=\lVert\vec B+\vec u-\vec A-\vec u\rVert\\ &&&=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=AB\end{align}$$

Définition d'une translation par deux points
Proposition :
Si \(T\) est une translation et \(B=T(A)\), alors $$T={{T_{\overrightarrow{AB} } }}$$
Proposition :
Si il existe un point \(A\) tel que \(T_\vec u(A)=T_\vec v(A)\), alors $$\vec u =\vec v\quad\text{ et }\quad T_\vec u=T_\vec v$$

Montrer que si \(T\) est une translation et \(B=T(A)\), alors $$T={{T_{\overrightarrow{AB} } }}$$ et que s'il existe un point \(A\) tel que \(T_\vec u(A)=T_\vec v(A)\), alors $$\vec u =\vec v\quad\text{ et }\quad T_\vec u=T_\vec v$$

$$\begin{align}&T_\vec u(A)=B\\ \iff& A+\vec u=B\\ \iff&\vec u=\vec B-\vec A=\overrightarrow{AB}\end{align}$$

Et donc : $$\begin{align}&T_\vec u(A)=T_\vec v(A)=B\\ \iff&\vec u=\overrightarrow{AB}=\vec v\end{align}$$

Caractérisation
Proposition :
L'application \(T\) est une translation si et seulement si $$\exists(\forall)A,\forall \vec u,\quad T(A+\vec u)=T(A)+\vec u$$
Montrer que l'application \(T\) est une translation si et seulement si $$\exists(\forall)A,\forall \vec u,\quad T(A+\vec u)=T(A)+\vec u$$

Soit \(A\) fixé
$$\begin{align}\forall P,\qquad P&=A+\overrightarrow{AP}\\ T(P)&=T(A+\overrightarrow{AP})=T(A)+\overrightarrow{AP}\\ \overrightarrow{T(P)}&=\overrightarrow{T(A)}+\vec P-\vec A\\ \overrightarrow{T(P)}&=\vec P+\overrightarrow{AT(A)}\\ T(P)&=P+\overrightarrow{AT(A)} =T_{\overrightarrow{AT(A)}}(P)\end{align}$$

D'un autre côté $$\begin{align} T_\vec v(A+\vec u)&=T_\vec v\circ T_\vec u(A)\\ &=T_\vec u\circ T_\vec v(A)\\ &=T_\vec v(A)+\vec u\end{align}$$

Caractère affine
Proposition :
Les translations sont affines
(Fonction affine)

Montrer que les translations sont affines

$$\begin{align}\overrightarrow{T_\vec u(\lambda A+(1-\lambda )B)}&=\overrightarrow{\lambda A+(1-\lambda)B+\vec u}\\ &=\overrightarrow{\lambda A+(1-\lambda)B}+\vec u\\ &=\lambda\vec A+(1-\lambda)\vec B+\underbrace{\lambda\vec u+(1-\lambda)\vec u}_{=\vec u}\\ &=\lambda(\vec A+\vec u)+(1-\lambda)(\vec B+\vec u)\\ &=\lambda\overrightarrow{(A+\vec u)}+(1-\lambda)\overrightarrow{(B+\vec u)}\\ &=\overrightarrow{\lambda(A+\vec u)+(1-\lambda)(B+\vec u)}\end{align}$$

(Fonction affine)
Rétroliens :