On appelle trace d'une matrice \(A\), et on note \(\operatorname{tr}(A)\), la somme de ses coefficients diagonaux

1. Montrer que l'application $$\begin{align} \mathcal M_n({\Bbb K})&\longrightarrow{\Bbb K}\\ A&\longmapsto\operatorname{tr}(A)\end{align}$$ est une forme linéaire sur \(\mathcal M_n({\Bbb K})\)
2. Montrer que : \(\forall(A,B)\in(\mathcal M_n({\Bbb K}))^2,\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\)

1° : définition de linéarité
1° $$\begin{align}\operatorname{tr}(\lambda A+\mu B)&=\sum^n_{i=1}\lambda a_{ii}+\mu b_{ii}\\ &=\lambda\sum^n_{i=1}a_{ii}+\mu\sum^n_{i=1}b_{ii}\\ &=\lambda\operatorname{tr}(A)+\mu\operatorname{tr}(B)\end{align}$$

2° : calcul individuel des traces
2° : alors $$\begin{align}\operatorname{tr}(AB)&=\sum^n_{i=1}c_{ii}=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{ij}b_{ji}\\ \text{ de même, }\operatorname{tr}(BA)&=\sum^nd_{ii}=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}b_{ji}a_{ij}\end{align}$$ on a donc bien \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\)

Soit \(E=\mathcal M_n({\Bbb K})\), avec \(\operatorname{char}({\Bbb K})\ne2\)
Pour \(A\in\mathcal M_n({\Bbb K})\), on note \(\phi_A:E\to{\Bbb K},M\mapsto\operatorname{tr}(AM)\)

1. Montrer que \(f:A\mapsto\phi_A\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(E^*\)
2. On note \(\mathcal S\) l'ensemble des matrices symétriques et \(\mathcal A\) l'ensemble des matrices anti-symétriques. Montrer que \(\mathcal S^o=\{\phi_A\mid A\in\mathcal A\}\) et \(\mathcal A^o=\{\phi_A\mid A\in\mathcal S\}\)

Montrer que c'est linéaire par définition
1° : soient \(A,B\in\mathcal M_n({\Bbb K})\) et \(\lambda,\mu\in{\Bbb K}\)
$$\begin{align} \phi_{\lambda A+\mu B}(M)&=\operatorname{tr}((\lambda A+\mu B)M)\\ &=\lambda\operatorname{tr}(AM)+\mu\operatorname{tr}(BM)&&\text{car la trace est linéaire}\\ &=\lambda\phi_A(M)+\mu\phi_B(M)\end{align}$$
Donc la linéarité de \(f\) est démontrée

Dimensions égales \(\to\) injectivité ou surjectivité
$$\operatorname{dim} E=n^2\lt +\infty\implies\operatorname{dim} E^*=n^2$$on note que, d'après le théorème du rang, il suffit de démontrer soit l'injectivité soit la surjectivité

\(\supset\) : on permute les indices et on regarde comment ça change
2° : \(\mathcal S=\{(a_{ij})^n_{i,j=1}\mid a_{ij}=a_{ji}\}\) et \(\mathcal A=\{(a_{ij})^n_{i,j=1}\mid a_{ij}=-a_{ji}\}\)
Montrons que \(\mathcal S^o=\{\phi_A\mid A\in\mathcal A\}\) par double-inclusion
\(\supset\) : \(\forall S\in\mathcal S\), on a : $$\begin{align}\phi_A(S)&=\operatorname{tr}(AS)\\ &=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}S_{ji}\\ &=-\sum^n_{i,j=1}a_{ji}S_{ij}&&\text{car }S\text{ est symétrique et }A\text{ antisymétrique}\end{align}$$

Par l'absurde, montrer qu'une matrice qui ne remplit pas cette condition est antisymétrique et non symétrique

\(\subset\) : soit \(\phi\in\mathcal S^o\subset E^*\)
D'après 1°, \(\phi\) est un isomorphisme. Donc \(\exists B\in\mathcal M_n({\Bbb K})\) tel que \(\phi=\phi_B=f(B)\)
Par l'absurde, supposons que \(B\notin\mathcal A\), donc que \(\exists i,j,b_{ij}\ne-b_{ji}\)
On pose \(S_{kl}=\begin{cases}1&&\text{si}\quad k\in\{i,j\}\\ 0&&\text{si}\quad l\in\{i,j\}\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}\), on a ainsi \(S_{ij}=S_{ji}=1\)
Et donc $$\begin{align}0=\phi_B(S)=\operatorname{tr}(SB)&=\sum_{k,l=1}s_{kl}b_{lk}\\ &=S_{ij}b_{ji}+S_{ji}b_{ij}\\ &=b_{ji}+b_{ij}\end{align}$$ et donc \(b_{ij}=-b_{ji}\)
Idem pour \(\mathcal A^o=\{\phi_A\mid A\in\mathcal S\}\)

(Théorème du rang)