Primitive - Math'φsics

Primitive

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Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition
Primitive d'une fonction :
Définition :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction définie sur un intervalle \(I\)
On dit que \(F:I\to\Bbb R\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est une fonction dérivable sur \(I\) et $$\forall x\in I,F'(x)=f(x)$$
(Dérivabilité, Dérivée d'une fonction)

Notation
Notation :
\(\int f(t)dt\), \(\int f(x)dx\) et \(\int f\) sont des primitives de \(f\)

Propriétés

Linéarité
Proposition :
Soit \(F\) une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\)
Alors...
1. \(F+G\) est une primitive de \(f+g\)
2. \(\forall\lambda\in\Bbb R\), \(\lambda F\) est une primitive de \(\lambda f\)
(Fonction linéaire)

Méthodes pour calculer la primitive
Méthodes pour trouver la primitive d'une fonction :
- intégration par parties
- intégration par changement de variables
- intégration par fraction rationelle
(Intégration par parties, Intégration par changement de variable, Intégration par fraction rationelle)

Primitives usuelles
Cosinus (Primitive)
Fonction exponentielle (Primitive)
Fonction inverse (Primitive)
Fonction tangente (Primitive)
Logarithme népérien - Logarithme naturel (Primitive)
Puissance (Primitive)
Racine carrée (Primitive)
Sinus (Primitive)
$$\int{{\frac{1}{1+x^2} }}\,dx={{\arctan x+k}}$$
(Arctangente)

Pour une fonction rationnelle trigonométrique
Méthodes pour trouver les primitives d'une fonction rationnelle trigonométrique : $$\int{P(\cos x,\sin x)\over Q(\cos x,\sin x)}dx$$
1. Les règles de Bioche
2. Changement de variable \(t=\tan\frac x2\) fonctionne tout le temps
(Règles de Bioche, Intégration par changement de variable, Fonction tangente)
Rétroliens :