Définition :
Un polynôme à une indéterminée, à coefficients dans \({\Bbb K}\), est une suite \((a_i)_{i\in{\Bbb N}}\) d'éléments de \({\Bbb K}\), nulle à partir d'un certain rang \(n\)
(Ensemble K, Suite réelle)
Soit \(P=(a_i)_{i\in{\Bbb N}}\) un polynôme à une indéterminée, à coefficients dans \({\Bbb K}\)
Les nbres \(a_i\) sont appelés coefficients du polynôme \(P\)
Dans le polynôme \(a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_nX^n\), \(X\) représente ce qu'on appelle une "indéterminée"
Soit \(P=(a_i)_{i\in{\Bbb N}}\) un polynôme à une indéterminée, à coefficients dans \({\Bbb K}\)
Si \(P\neq0\), le plus grand entier \(n\) tq \(a_n\neq0\) s'appelle le degré de \(P\)
On le note \(d^\circ P\) ou \(\deg(P)\)
Polynôme constant
Polynôme nul
Polynôme inversible
Polynôme irréductible
Polynôme complexe
Polynôme réel
Polynôme caractéristique d’une matrice - Polynôme associé à une matrice
Polynôme annulateur
Polynôme de matrices
Polynôme minimal d’une matrice
Produit d’un polynôme par un scalaire
Produit de deux polynômes
Polynôme dérivé
Formule du binôme de Newton
Formule de Taylor pour les polynômes
Fraction rationnelle
Pgcd d’un polynôme
Division euclidienne (Polynômes)
Division suivant les puissances croissantes
Addition de deux polynômes : $${{P+Q}}={{(a_i+b_i)_{i\in{\Bbb N}} }}$$
$$\deg({{P+Q}}) {{\;\leqslant\;}} {{\max(\deg P,\deg Q)}}$$
L'addition de polynômes vérifie les propriétés suivantes :
- Associativité
- Élément neutre : le polynôme nul
- Élément opposé : \(-P\)
- Commutativité
(Associativité, Elément neutre - Uniférité, Polynôme nul, Elément opposé - Inverse additif, Commutativité - Symétrie)
