Norme \(\lVert\cdot\rVert\)
Fonction \(\lVert\cdot\rVert:E\to{\Bbb R}_+\) (avec \(E\) un \({\Bbb K}\)-Espace vectoriel) qui vérifie : $$\begin{align}\text{séparation : }&\forall x\in E\setminus\{0\},\lVert x\rVert\gt 0\\ \text{homogénéité : }&\forall x\in E,\forall\lambda\in{\Bbb K},\lVert\lambda x\rVert=\lvert \lambda\rvert\lVert x\rVert\\ \text{inégalité triangulaire : }&\forall x,y\in E,\lVert x+y\rVert\leqslant\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\end{align}$$(on reconnaît les axiomes d'une Distance).

• si une telle fonction existe sur \(E\), on dit que \((E,\lVert\cdot\rVert)\) est un espace vectoriel normé et on munit \(E\) de la Distance \(d:(x,y)\mapsto\lVert x-y\rVert\)

Questions de cours

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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle distance utiliser sur l'espace vectoriel suivant ? $$L(E,F):=\{u:E\to F\mid v\text{ est linéaire et continue}\}$$
Verso: $$\lVert u\rVert_{L(E,F)}:=\sup_{\lVert x\rVert_E\leqslant1}\lVert u(x)\rVert_F$$
Bonus: C'est aussi la Constante de lipschitz de \(u\). On la note aussi parfois avec trois barres au lieu de deux (Norme induite).
Carte inversée ?:
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle distance utiliser sur l'espace vectoriel suivant ? $$E^*:=L(E,{\Bbb K})$$
Verso: $$\lVert\varphi\rVert_{E^*}:=\sup_{\lVert x\rVert_E\leqslant1}\lvert\varphi(x)\rvert$$
Bonus: C'est l'Espace dual continu de \(E\).
Carte inversée ?:
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle distance utiliser sur l'espace vectoriel suivant ? $$C_b^\alpha(X,E):=\{f:X\to E\mid f\text{ est }\alpha\text{-Hölder et bornée}\}$$
Verso: $$\lVert f\rVert_{C_b^\alpha}:=\lVert f\rVert_\infty+\lvert f\rvert_\alpha\quad\text{ avec }\quad\lvert f\rvert_\alpha=\underset{x\ne x^\prime}{\sup_{x,x^\prime\in X} }\frac{\lVert f(x)-f(x^\prime)\rVert}{d(x,x^\prime)^\alpha}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle distance utiliser sur l'espace vectoriel suivant ? $$\operatorname{Lip}_b(X,E):=\{f:X\to E\mid f\text{ est lipschitzienne et bornée}\}$$
Verso: $$\lVert f\rVert_{\operatorname{Lip}_b}:=\lVert f\rVert_\infty+\operatorname{Lip}(f)$$avec \(\operatorname{Lip}(f)\) la meilleure Constante de lipschitz.
Bonus:
Carte inversée ?:
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle distance utiliser sur l'espace vectoriel suivant ? $$\mathcal C_b^n(\Omega):=\{f:\Omega\to{\Bbb K}\mid f\in\mathcal C^n\text{ et }f\text{ ainsi que ses dérivées jusqu}^\prime\text{à l}^\prime\text{ordre }n\text{ sont bornées}\}$$
Verso: $$\lVert f\rVert_{\mathcal C_b^n}:=\sum_{\lvert\alpha\rvert_1\lt n}\lVert\partial_\alpha f\rVert_\infty$$
Bonus:
Carte inversée ?:
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