Homothétie

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Définition :
Soit \(C\) un point et \(\lambda\) un réel
L'application $${{H_{C,\lambda} }}:{{A}}\mapsto {{C+\lambda\overrightarrow{CA} }}$$ est appelée homothétie de centre \(C\) et de rayon \(\lambda\)

Propriétés

Homothétie d'un point et d'un vecteur

Propriété :
$$H_{C,\lambda}({{C+\vec u}})={{C+\lambda\vec u}}$$

Composition

Propriété :
$${{H_{C,\lambda_1}\circ H_{C,\lambda_2}=H_{C,\lambda_2}\circ H_{C,\lambda_1} }}={{H_{C,\lambda_1\lambda_2} }}$$

(Composition)

Bijection

Proposition :
Les homothéties de rapport non nul sont des bijections, avec $$H^{-1}_{C,\lambda}={{H_{C,1/\lambda} }}$$

(Bijection)

Composition avec une translation

Proposition :
$$H_{C,\lambda}\circ {{T_{\vec u} }}={{\vec T_{\lambda\vec u}\circ H_{C,\lambda} }}$$

(Composition, Translation)

Similitude

Proposition :
Une homothétie \(H_{C,\lambda}\) est une \(\lvert\lambda\rvert\)-similitude

(Similitude)

Corollaire :
Une homothétie \(H_{C,\lambda}\) est une isométrie si et seulement si \(\lambda=\pm1\)

(Isométrie)

Point fixe

Proposition :
Le centre d'une homothétie non triviale est son unique point fixe

Corollaire :
Si \(H\) est une homothétie non triviale et \(H(C)=C\), alors \(C\) est le centre de l'homothétie

(Point fixe)

Egalité d'homothéties

Proposition :
Nous avons \(H_{C_1,\lambda_1}=H_{C_2,\lambda_2}\) si et seulement si \(\lambda_1=\lambda_2\) et \(C_1=C_2\) dans le cas non trivial

Caractère affine

Proposition :
Les homothéties sont affines

(Fonction affine)

Autres

Proposition :
Si \(\lambda\ne1\)$, alors {$$C\in(AB)$$

(Droite)

Homothéties particulières

Symétrie centrale

Homothétie triviale

Proposition :
$$H_{C,{{1}} }={{\operatorname{Id}}}$$ on appelle cette homothétie l'homothétie triviale

(Application identité)

Exercices

Consigne: Soit \((ABC)\) un triangle, \(P\in(BC)\), \(Q\in(CA)\) et \(R\in(AB)\) tels que \(\{P,Q,R\}\cap\{A,B,C\}=\varnothing\)
Montrer que \(P,Q,R\) sont alignés si et seulement si $$\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=1$$

Introduire des homothéties
On introduit les homothéties : $$\begin{array}{c|c|c}&\text{centre}&\text{rapport}\\ \hline\alpha&P&\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\\ \beta&Q&\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\\ \gamma&R&\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}\end{array}$$
On a donc \(\alpha(C)=B,\beta(A)=C\) et \(\gamma(B)=A\)

La composition des homothéties fixe \(B\)
$$\underbrace{\alpha\circ\beta\circ\gamma}_h(B)=\alpha\circ\beta(A)=\alpha(C)=B$$

En déduire son centre et son rapport
C'est donc une homothétie de centre \(B\) et de rapport \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=\rho\)

\(h\) est l'identité si et seulement si son rapport est \(1\)
\(\rho=1\iff h=\operatorname{Id}\)

\(B\) pas dans \((QR)\) \(\Rightarrow\) le rapport est \(1\)
\(B\notin(QR)\) car \(R\ne B\) donc \(h(QR)=(QR)\iff\rho=1\)

Calculer \(h(QR)\) \(\to\) \(=(QR)\) \(\to\) \(P\in(QR)\)

$$\begin{align} h(QR)=(QR)\iff&\alpha\circ\beta\circ\gamma(QR)=(QR)\\ &=\alpha\circ\beta(QR)&&\quad\text{ car }\;\gamma(QR)=(QR)\\ &=\alpha(QR)&&\quad\text{ car }\;\beta (QR)=(QR)\\ &=(QR)&&\quad\text{ car }\;\alpha(QR)=(QR)\\ \iff&P\in (QR)&&\text{(centre de }\alpha\text{ sur }(QR))\end{align}$$