Montrer que \(F=[a,+\infty[\) est un fermé

Complémentaire
Le complémentaire de \(F\) \({\Bbb R}\setminus F\) est \(]-\infty,a[\)

\(]-\infty,a[\) est un intervalle ouvert, c'est donc un ouvert
Donc \(F\) est un fermé

(Complémentaire, Ouvert, Intervalle ouvert)

Dire si l'ensemble $$B=\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid\lvert x\rvert=1\text{ ou }\lvert y\rvert=1\}$$
Déterminer l'intérieur \(\mathring B\) de \(B\)

Montrons que \(\mathring B=\varnothing\)
Soit \((\alpha,\beta)\in B,r\gt 0\)
Montrons que $$\begin{align}\exists(a,b)\in B^C,\quad&\lVert(\alpha,\beta)-(a,b)\rVert_2\lt r\\ \iff&(a,b)\in B((\alpha,\beta),r)\setminus B\end{align}$$
Ainsi, on aura montré que \((a,b)\notin B\), et comme \((\alpha,\beta)\in B\), que \(\mathring B=\varnothing\)

Disjonctions des cas : montrer que les boules ne sont pas incluses dans \(B\) avec des \(\varepsilon\)
1er cas : si \(\alpha=\pm1\) et \(\beta\neq\pm1\)
Soit \((a,b)=(\alpha+\varepsilon,\beta)\) pour \(0\lt \varepsilon\lt r,1\)
Alors
- Si \(\alpha=1\), \(a=1+\varepsilon\lt 1\), donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=-1\), \(1\gt 0\gt a=-1+\varepsilon\gt -1\), donc \((a,b)\in B\)

2e cas : si \(\alpha\neq\pm1\) et \(\beta=\pm1\)
Soit \((a,b)=(\alpha,\beta+\varepsilon)\), avec \(0\lt \varepsilon\lt r,1\)
Alors
- Si \(\beta=1\), \(b=1+\varepsilon\gt 1\), donc, puisque \(\lvert a\rvert\neq1\), \((a,b)\notin B\)
- Si \(\beta=-1\), \(b=-1+\varepsilon\lt 0\), donc \(\lvert b\rvert\neq1\) et \(\lvert a\rvert\neq1\), donc \((a,b)\notin B\)

3e cas : si \(\lvert\alpha\rvert=1\) et \(\lvert\beta\rvert=1\)
Soit \((a,b)=(\alpha+\varepsilon,\beta+\varepsilon)\), avec \(0\lt \varepsilon\lt r,1\)
Alors on a :
- Si \(\alpha=1,\beta=1\), \(a\gt 1,b\gt 1\) donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=-1,\beta=1\), \(-1\lt a\lt 0,b\gt 1\) donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=1,\beta=-1\), \(a\gt 1,-1\lt b\lt 0\) donc \((a,b)\notin B\)
- Si \(\alpha=-1,\beta=-1\), \(-1\lt a+\lt 0,-1\lt b\lt 0\) donc \((a,b)\notin B\)

Prouver que les points utilisés sont pourtant bien dans les boules

De plus, $$\lVert(\alpha,\beta)-(a,b)\lVert_2=\lVert(\varepsilon,\varepsilon)\rVert_2=\varepsilon\sqrt2\lt r$$
Donc \((a,b)\in B((\alpha,\beta),r)\)
Ainsi $$\forall(\alpha,\beta)\in B,\forall r\gt 0,\exists(a,b)\in B((\alpha,\beta),r)\setminus B$$
Donc \(\mathring B=\varnothing\)