Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\)
Pour \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), montrer que la série définissant \(g(x)\) est convergente

Équivalence

$$\begin{align}\frac1{x+n}+\frac1{x-n}&=\frac{2x}{x^2-n^2}\\ \left|\frac{2x}{x^2-n^2}\right|&\underset{+\infty}\sim\left|\frac{2x}{n^2}\right|\end{align}$$ donc \(g(x)\) converge absolument \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont impaires
Montrer que \(g\) et \(D\) sont périodiques de période \(1\)

Montrer que la différences s'annulent en réécrivant les séries
Montrons que \(g(x+1)-g(x)=0\) : $$\begin{align} g(x+1)-g(x)&=\frac1{x+1}+\sum_{n\geqslant1}\left(\frac1{x+1+n}+\frac1{x+1-n}\right)-\frac1x-\sum_{n\geqslant1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)\\ &=\frac1{x+1}-\frac1x+\sum_{n\geqslant1}\left(\frac1{x+1+n}-\frac1{x+n}+\frac1{x+1-n}-\frac1{x-n}\right)\\ &=\frac1{x+1}-\frac1x+\sum_{n\geqslant1}\left(\frac1{x+1+n}-\frac1{x+n}\right)+\sum_{n\geqslant1}\left(\frac1{x+1-n}-\frac1{x-n}\right)&&\text{car les séries sont télescopiques et convergentes}\\ &=\frac1{x+1}-\frac1x+\left(\cancel{\frac1{x+2}}-\frac1{x+1}+\cancel{\frac1{x+3}}-\cancel{\frac1{x+2}}+\ldots\right)+\left(\frac1x-\cancel{\frac1{x-1}}+\cancel{\frac1{x+1}}-\cancel{\frac1{x-2}}+\ldots\right)\\ &=\frac1{x+1}-\frac1x-\frac1{x+1}+\frac1x\\ &=0\end{align}$$

Puisque \(f\) est périodique de période \(1\), \(D\) est périodique en tant que somme de fonctions périodiques

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont impaires et périodiques de période \(1\)
Montrer que les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)

Période \(\to\) continuité sur un intervalle seulement, passage par fonction intermédiaire (car \(\frac{2x}{x^2-1}\) est gênant quand \(x\to1\))
Puisque \(g\) est périodique de période \(1\), montrons que \(g(x)\) est continue pour \(x\in\,]0,1[\)
La fonction \(h(x)=\frac1x+\frac{2x}{x^2-1}\) est continue dans \(]0,1[\)
Or \(g(x)=h(x)+\sum_{n\geqslant2}\frac{2x}{x^2-n^2}\)

Majoration : convergence absolue \(\to\) majoration
Comme \(x\in\,]0,1[\), \(\lvert x^2-n^2\rvert\geqslant n^2-1\), donc $$\left|\frac{2x}{x^2-n^2}\right|\leqslant\frac2{n^2-1}$$ or la série \(\sum_{n\geqslant2}\frac2{n^2-1}\) converge vers \(\ell(x)=\sum_{n\geqslant2}^{+\infty}\frac2{x^2-n^2}\) normalement convergente sur \([0,1]\), et donc continue sur \([0,1]\)

\(D\) est continue d'après les théorèmes généraux en tant que somme de fonctions continues

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues, impaires et périodiques de période \(1\)
Montrer que pour tout \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), on a $$f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1+x}2\right)=2f(x)$$

Formules trigonométriques

$$\begin{align} f\left(\frac x2\right)+f\left( \frac{x+1}2\right)&=\pi\frac{\cos(\pi x/2)}{\sin(\pi x/2)}+\pi\frac{\cos\left(\frac\pi2\frac{\pi x}{2}\right)}{\sin(\frac\pi2+\frac{\pi x}2)}\\ &=\pi\frac{\cos(\frac{\pi x}2)}{\sin(\frac{\pi x}2)}-\pi\frac{\sin(\frac{\pi x}2)}{\cos(\frac{\pi x}2)}\\ &=\pi\left(\frac{\cos^2(\frac{\pi x}2)-\sin^2(\frac{\pi x}2)}{\sin(\frac{\pi x}2)\cos(\frac{\pi x}2)}\right)\\ &=\pi\left(\frac{\cos(\pi x)}{\frac{\sin(\pi x)}2}\right)\\ &=2f(x)\end{align}$$

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues, impaires et périodiques de période \(1\)
Pour \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), on a \(f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1+x}2\right)=2f(x)\)
Montrer que pour tout \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), on a : $$g\left(\frac x2\right)+g\left(\frac{1+x}2\right)=2g(x)$$

$$\begin{align}&&g\left(\frac x2\right)&=\frac2x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{\frac x2+n}+\frac1{\frac x2-n}\right)\\ &&&=\frac2x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac2{x+2n}+\frac2{x-2n}\right)\\ \text{de même, }&&g\left(\frac{x+1}2\right)&=\frac2{1+x}+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac2{x+2n+1}+\frac2{x-2n+1}\right)\\ \\ \implies&&g\left(\frac x2\right)+g\left(\frac{1+x}2\right)&=\frac2x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac2{x+n}+\frac2{x-n}\right)\\ &&&=2g(x)\end{align}$$

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues, impaires et périodiques de période \(1\)
Pour \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), on a \(f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1+x}2\right)=2f(x)\) et \(g\left(\frac x2\right)+g\left(\frac{1+x}2\right)=2g(x)\)
Montrer que la fonction \(D\) se prolonge par continuité en une fonction \(\tilde D\) sur \({\Bbb R}\) telle que \(\tilde D(0)=0\)

Développement limité sur la première partie
$$\begin{align} \pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}-\frac1x&=\pi\frac{1-\frac{(\pi x)^2}2}{\pi x}-\frac1x\\ &=\frac1x-\frac1x+\frac{\pi^2x}2+O(x^2)\\ &=\frac{\pi^2}2x+O(x^2)\underset{x\to0}\longrightarrow0\end{align}$$

Convergence de la deuxième partie

De plus $$\begin{align} h(x)&:=\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)\\ \implies h(0)&=\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1n-\frac1n\right)\\ &=0\underset{x\to0}\longrightarrow0\end{align}$$
\(D\) est donc bien prolongeable par continuité en \(0\)

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues, impaires et périodiques de période \(1\)
Pour \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), on a \(f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1+x}2\right)=2f(x)\) et \(g\left(\frac x2\right)+g\left(\frac{1+x}2\right)=2g(x)\)
La fonction \(D\) se prolonge par continuité en une fonction \(\tilde D\) sur \({\Bbb R}\) telle que \(\tilde D(0)=0\)
Justifier l'existence de \(\alpha\in[0,1]\) tel que \(\tilde D(\alpha)=M\), où \(M=\sup_{t\in[0,1]}\tilde D(t)\), puis montrer que $$\forall n\in{\Bbb N},\qquad\tilde D\left(\frac\alpha{2^n}\right)=M$$

Théorème fondamental sur les fonctions continues
\(\tilde D\) est continue et périodique, donc \(\tilde D\) atteint sa plus grande valeur sur \([0,1]\) car \([0,1]\) est compact
De plus \(M\geqslant0\) car \(\tilde D(0)=0\)

Utiliser la relation
Supposons \(\alpha\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
Alors : $$\tilde D\left(\frac\alpha2\right)+\tilde D\left(\frac{\alpha+1}2\right)=2\tilde D(\alpha)=2M$$
Si \(\tilde D(\frac\alpha2)\lt M\), alors on a une contradiction car \(\tilde D(\frac{\alpha+1}2)\leqslant M\) et donc \(\tilde D(\frac\alpha2)+\tilde D(\frac{\alpha+1}2)\lt M\)
On conclut que si \(\alpha\in\,]0,1[\), ou \(\tilde D(\alpha)=\sup_{x\in{\Bbb R}}\tilde D(x)=M\)
Alors \(\tilde D(\frac\alpha2)=M\) et \(\frac\alpha2\in\,]0,1[\)

Récurrence

Par récurrence, $$\tilde D\left(\frac\alpha{2^n}\right)=M\qquad\forall n$$

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues, impaires et périodiques de période \(1\)
Pour \(x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\), on a \(f\left(\frac x2\right)+f\left(\frac{1+x}2\right)=2f(x)\) et \(g\left(\frac x2\right)+g\left(\frac{1+x}2\right)=2g(x)\)
La fonction \(D\) se prolonge par continuité en une fonction \(\tilde D\) sur \({\Bbb R}\) telle que \(\tilde D(0)=0\) et \(\exists\alpha\in[0,1]\) tel que \(\tilde D(\alpha)=M\), où \(M=\sup_{t\in[0,1]}\tilde D(t)\). De plus, \(\forall n\in{\Bbb N},\tilde D\left(\frac\alpha{2^n}\right)=M\)
Montrer que la fonction \(\tilde D\) est nulle sur \({\Bbb R}\), puis que : $$\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z},\qquad \pi x\operatorname{cotan}(\pi x)=1+2\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^2}{x^2-n^2}$$

Par symétrie
On a montré que \(M=0\) et donc que \(\tilde D\leqslant0\) sur \({\Bbb R}\)
La même considération s'applique à \(-\tilde D\) car la question précédente est valable pour \(-\tilde D\)
Donc puisque \(-\tilde D\leqslant 0\) et \(\tilde D\leqslant0\) \(\implies\) \(\tilde D=0\)

On a donc l'égalité en développant

Soient les fonctions \(f,g\) et \(D\) définies sur \({\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\) par : $$f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x)=\pi\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\quad\text{ et }\quad g(x)=\frac1x+\sum^{+\infty}_{n=1}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)$$
On pose \(D=f-g\) et on a \(g(x)\) absolument convergente \(\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z}\)
De plus, les fonctions \(g\) et \(D\) sont continues, impaires et périodiques de période \(1\)
On a :$$\forall x\in{\Bbb R}\setminus{\Bbb Z},\qquad \pi x\operatorname{cotan}(\pi x)=1+2\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^2}{x^2-n^2}$$
Montrer que : $$\forall x\in\,]-\!2\pi,2\pi[\setminus\{0\},\qquad\frac x2\operatorname{cotan}\left(\frac x2\right)=1-\sum^{+\infty}_{k=1}\frac{\zeta(2k)}{2^{2k-1}\pi^{2k}}x^{2k}$$

Changement de variable et manipulation de séries

Soit \(z\) tel que \(\pi x=\frac z2\) et \(x=\frac z{2\pi}\)
Alors : $$\begin{align}\frac z2\operatorname{cotan}\left(\frac z2\right)&=1+2\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{(\frac z{2\pi})^2}{(\frac z{2\pi})^2-n^2}\\ \frac x2\operatorname{cotan}\left(\frac x2\right)&=1+2\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^2}{x^2-4\pi^2n^2}\\ &=1-2\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^2}{(1-(\frac x{2\pi n})^2)4\pi^2n^2}\\ &=1-2\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{x^2}{4\pi n^2}\sum^{+\infty}_{l=0}\left(\frac x{2\pi n}\right)^{2l}\\ &=1-2\sum^{+\infty}_{n=1}\sum^{+\infty}_{l=0}\frac1{4\pi^2n^2}\left(\frac1{2\pi n}\right)^{2l}x^{2l+2}\\ &=1-2\sum^{+\infty}_{l=0}\left(\sum^{+\infty}_{n=1}\frac1{n^{2l+2}}\right)\frac1{(2\pi)^{2l+2}}x^{2l+2}\\ &=1-2\sum_{l=0}^{+\infty}\zeta(2l+2)\left(\frac x{2\pi}\right)^{2l+2}\end{align}$$