Cosinus - Math'φsics

Cosinus

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le cosinus de \(\hat A\) est le rapport entre la longueur de son côté adjacent et celle de l'hypotenuse $$\cos(\hat A)=\frac ah$$
(Triangle, Côté adjacent, Hypotenuse)

Formules utiles
Identités trigonométriques

Dérivée
$$({{\cos x}})'={{-\sin x}}$$
(Sinus)

Equivalence
$${{1-\cos x}}\underset{ {{0}} }\sim {{\frac{x^2}2}}$$

Primitive
$$\int{{\cos(x)}}\,dx={{\sin(x)+k}}$$
$$\int{{\cos(ax)}}dx={{\frac1a\sin(ax)+k}}$$
(Sinus)

Développement limité en 0
Développement limité avec \(a=0\) : $${{\cos x}}={{\sum^n_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k} }{(2k)!}+x^{2n}\epsilon(x)}}$$ Développement limité à l'ordre \(1\) en \(0\) : $$\cos x={{1}}+x\varepsilon(x)$$ Développement limité à l'ordre \(2\) en \(0\) : $$\cos x=1+{{-\frac{x^2}2}}+x^2\varepsilon(x)$$ Développement limité à l'ordre \(3\) en \(0\) : $${{\cos x}}=1-\frac{x^2}2+{{0}}+x^3\varepsilon(x)$$

Avec le produit scalaire
D'après la définition du produit scalaire, on a : $${{\cos(\widehat{\vec u,\vec v})}}={{\frac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert} }}$$
(Produit scalaire)

Formule dans les complexes
Formule dans les complexes : $${{\cos(x)}}={{\Re(e^{ix})}}$$

Exercices

Déterminer la limite si elle existe : $$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(xy)}{y^2}$$

Remplacer \(\cos(xy)\) par son développement limité
$$\begin{align}&\cos t=1-\frac{t^2}2+\frac{t^4}{24}+o(t^4)\\ \implies&\cos(xy)=1-\frac{x^2y^2}{2}+\frac{x^4y^4}{24}+o(x^4y^4)\end{align}$$

Conclure sur la limite

Donc $$\begin{align}\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(xy)}{y^2}&=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\left(1-\frac{x^2y^2}{2}+\frac{x^4y^4}{24}+o(x^4y^4)\right)}{y^2}\\ &=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{2}-\frac{x^4y^2}{24}+o(x^4y^4)\\ &=0\end{align}$$

(Développement limité)

Montrer que pour tout \(x\in[0,1]\), on a $$0\leqslant2(1-\cos x)\leqslant x^2$$

On a évidemment \(0\leqslant2(1-\cos x)\) car sur \(\cos([0,1])=[0,1]\)

Réécriture de l'inégalité en utilisant le développement limité de \(\cos\)
Montrons le côté droit de l'inéquation : $$\begin{align}&2(1-\cos x)\leqslant x^2\\ \implies&1-\cos x\leqslant\frac{x^2}2\\ \implies&\sum_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\leqslant\frac{x^2}2\end{align}$$

La série est de la forme \(\sum(-1)^nu_n\), avec \(u_n\) positive, décroissante et tendant vers \(0\)
On a donc \(\lvert R_n\rvert\leqslant u_{n+1}\) d'après le théorème des séries alternées

( limité en 0, Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)
Rétroliens :