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    Formulaire de report


    Définition


    Topologie


    Espace compact

    Définition d'un espace compact :
    1. soit \((E,\tau)\) un espace topologique
    2. \(E\) est séparé
    3. de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini (propriété de Borel-Lebesgue)
    $$\Huge\iff$$
    1. on dit que \(E\) est compact
    (Séparation, Recouvrement)
    Remarque :
    On peut aussi énoncer la compacité avec des fermés

    Sous-ensemble compact

    Définition d'un sous-ensemble compact :
    1. soit \((E,\tau)\) un espace topologique
    2. soit \(K\subset E\)
    3. \(K\) est compact pour la topologie induite
    $$\Huge\iff$$
    1. on dit que \(K\) est compact
    (Topologie induite)

    Analyse réelle

    Définition :
    On dit que \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\) si pour toute suite \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\), \(x_n\in K\), alors $$\exists x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K$$
    START
    Théorème
    Définition
    Hypothèses:
    1. \(K\) est un ensemble
    2. pour toute suite \((x_n)_{n\in\Bbb N}\), avec \(\forall n, x_n\in K\), on a : $$\exists x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K$$ (pour toute suite d'éléments de \(K\), il existe une sous-suite de cette suite qui converge vers un élément de \(K\))

    Résultats:
    1. \(K\) est un compact
    Equivalence?:
    END

    (Ensemble des nombres réels, Suite réelle, Théorème de Bolzano-Weierstrass - Critère de Bolzano-Weierstrass)

    Exemples

    Exemple :
    Un ensemble fini et séparé est compact

    Caractérisation

    Un compact de \({\Bbb R}\) est toujours borné et fermé
    (Ensemble borné, Fermé)
    Consigne: Montrer qu'un compact de \({\Bbb R}\) est toujours borné

    On raisonne par contraposée : $$\text{non borné }\implies\text{ non compact}$$

    \(K\) non bornée
    Si \(K\) est non bornée, alors $$\forall n\in{\Bbb N},\exists u_n\in K,\quad\lvert u_n\rvert\geqslant n$$

    \(K\) compact
    Si \(K\) est compact, alors il existe \(\varphi\) tel que : $$u_{\varphi(n)}\longrightarrow\ell\in K$$

    Comparaison et faire tendre la suite vers l'infini : \(n\) n'est pas réel : contradiction donc \(K\) n'est pas compact

    Or on a $$\lvert u_{\varphi(n)}\rvert\geqslant\varphi(n)\geqslant n$$ et donc, quand \(n\to+\infty\) : $$\lvert\ell\rvert\longrightarrow+\infty$$
    Ce qui est exclu, donc \(K\) n'est pas compact

    Tout ensemble fermé et borné \(\subset{\Bbb R}\) est un compact de \({\Bbb R}\)
    (Ensemble borné, Fermé)
    Caractérisation dans \({\Bbb R}\) :
    1. \(E\subset{\Bbb R}\)
    2. \(E\) est fermé
    3. \(E\) est borné
    $$\Huge\iff$$
    1. \(E\) est un compact de \({\Bbb R}\)

    Caractérisation d'un sous-ensemble compact :
    1. soit \((E,\tau)\) un espace topologique
    2. soit \(K\subset E\)
    3. \(K\) est séparé
    4. de tout recouvrement ouvert de \(K\) pour la topologie de \(E\), on peut extraire un sous-recouvrement fini
    $$\Huge\iff$$
    1. \(K\) est compact
    Proposition :
    Tout sous-espace fermé d'un espace compact est compact

    Propriétés


    Stabilité par une fonction continue

    Théorème :
    L'image d'un compact par une application continue est un compact
    (Image, Continuité, \(\to\)Théorème des valeurs extrêmes)

    Adhérence

    Si \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\), alors \(\overline K={{K}}\)
    (Adhérence)

    Bornes

    Soit \(K\) un compact de \({\Bbb R}\)
    Si \(f:K\to{\Bbb R}\) est continue, alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes
    (Continuité, Fonction bornée)
    Consigne: Montrer que, si \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\) et si \(f:K\to{\Bbb R}\) est continue, alors \(f\) est bornée

    Initialisation du raisonnement par l'absurde
    Supposons que \(f\) n'est pas bornée : $$\forall n\in{\Bbb N},\exists x_n\in K,\quad\lvert f(x_n)\rvert\geqslant n$$

    \(K\) est un compact
    Puisque \(K\) est un compact de \({\Bbb R}\), alors on a $$x_{\varphi(n)}\longrightarrow x\in K\quad\text{ et }\quad\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert\geqslant\varphi(n)\geqslant n$$

    Contradiction avec plusieurs limites de \(f\)

    D'une part, vu que \(f\) est continue, $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert=\lvert f(x)\rvert$$
    D'autre part, puisque \(\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert\geqslant n\), on a : $$\lvert f(x_{\varphi(n)})\rvert\longrightarrow+\infty$$
    Il y a une contradiction, donc \(f\) est bornée


    Caractérisation par les fermés

    Caractérisation des compacts par les fermés :
    1. soit \((E,\tau)\) un espace séparé
    2. toute famille de fermés dont les intersections finies sont toutes non vides a une intersection non vide
    $$\Huge\iff$$
    1. \(E\) est compact
    Corollaire :
    Dans un compact, toute intersection \(\downarrow\) de fermés non vides est non vide
    Proposition :
    Un sous-ensemble compact d'un espace séparé est fermé

    Exercices

    Consigne: L'ensemble suivant est-il compact ? $$A=\left\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\;\middle|\;\frac12\leqslant\lVert(x,y)\rVert\leqslant2\text{ et }xy=1\right\}$$

    Fermé et borné

    L'ensemble est fermé (défini par des \(\leqslant\) et \(=\)) et borné par \(2\), il est donc compact

    Consigne: En norme euclidienne, l'ensemble suivant est-il compact ? $$B=\left\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\;\middle|\;\frac12\lt \lVert(x,y)\rVert\leqslant2\text{ et }xy=1\right\}$$

    Montrer que la condition \(\lt \) est inutile par disjonction des cas sur \(\lvert x\rvert\)
    On a : $$B=\left\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\;\middle|\;\lVert(x,y)\rVert\leqslant2\text{ et }xy=1\right\}$$
    En effet, montrons que, si \((x,y)\in B(0,2)\cap\{(\alpha,\beta)\mid\alpha\beta=1\}\), alors \((x,y)\notin B(0,\frac12)\)

    1. si \(\lvert x\rvert\geqslant1\), alors \(\sqrt{x^2+y^2}\geqslant\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\geqslant1\)
    2. si \(0\lt \lvert x\rvert\leqslant1\), alors \(\frac1{\lvert x\rvert}\geqslant1\) donc \(\sqrt{x^2+y^2}\geqslant\sqrt{\frac1{x^2}}\geqslant1\)

    Donc l'ensemble est bien fermé et borné, c'est donc bien un compact

  • Rétroliens :
    • Espace des fonctions continues à support compact
    • Fermé
    • Théorème d'explosion - Théorème des bouts - Théorème de sortie de tout compact
    • Théorème des valeurs extrêmes