Cercle

Définition

Définition :
Étant donné un point $O$ et un réel positif $R\gt 0$, le cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble : $${{C(O,R)}}={{\{A\mid OA=R\} }}$$
Définition :
Étant donné un point $O$ et un réel positif $R\gt 0$, l'intérieur du cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble : $${{\{A\mid OA\lt R\} }}$$
Définition :
Étant donné un point $O$ et un réel positif $R\gt 0$, l'extérieur du cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble : $${{\{A\mid OA\gt R\} }}$$
Définition :
On dit qu'un ensemble est à l'intérieur (resp. À l'extérieur) d'un cercle s'il est contenu dans son intérieur (resp. Son extérieur)

Notation

[notation]
$\mathcal C(A,B)$ $\longleftrightarrow$ cercle de centre $A$ passant par $B$
[notation]
$\mathcal C^*(A,B)$ $\longleftrightarrow$ $\mathcal C(A,B)\setminus(B)$
[notation]
$\mathcal C[AB]$ $\longleftrightarrow$ cercle de diamètre $[AB]$, autrement dit $\mathcal C(\frac{A+B}2,B)$
[notation]
$\mathcal C(A,BC)$ $\longleftrightarrow$ cercle de centre $A$ et de rayon $BC$
[notation]
$\mathcal C(A,B,C)$ $\longleftrightarrow$ cercle passant par $A,B,C$ non alignés

Equation

Le point $P=(x,y)$ appartient au cercle de centre $C=(x_0,y_0)$ si et seulement si $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$

Propriétés

Liens avec la distance avec un ensemble de points

Proposition :
Soit $A$ un point et $\chi$ un ensemble de points
Alors $d(A,\chi)\geqslant R$ si et seulement si $\chi$ n'a pas de points à l'intérieur du cercle $C(A,R)$
(Distance (Entre un point et un ensemble de points))

Intersection avec un segment

Proposition :
Soit $C$ un cercle, $A$ un point à l'intérieur de $C$ et $B$ un point à l'extérieur de $C$
Alors $$C\;\cap\;]AB[\ne\varnothing\quad\text{ et }\quad \#(C\;\cap\;]AB[)=1$$
(Segment)

Intersection avec une demi-droite

Proposition :
Soit $C$ un cercle, $A$ un point intérieur à $C$
Pour tout $B\ne A$, on a $$C\;\cap\;]AB)\ne\varnothing\quad\text{ et }\quad\#(C\;\cap\;]AB))=1$$
(Demi-droite)

Coordonnées d'un point du cercle

Proposition :
Soit $\alpha\in{\Bbb R}\setminus2\pi{\Bbb R}$ et $A$ le point du cercle unité tel que $\measuredangle(Ox,OA)=\alpha$, alors on nomme les coordonnées de $A$ : $$A({{\cos\alpha}},{{\sin\alpha}})$$
(Cosinus, Sinus)

Construction

Exercices

Étudier l'intersection d'une droite $\mathcal D$ et d'un cercle $\mathcal C(O,r)$

Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal D$ et montrer que quand $\mathcal D\cap\mathcal C(O,r)=\{H\}$ (resp. $\{M,N\}$), alors le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal D$ est $H$ (resp. Le milieu de $[MN]$)
si $OH\gt r$, alors $\forall M\in\mathcal D,OM\geqslant OH\gt r$ donc $\mathcal D\cap\mathcal C=\varnothing$

si $OH=r$, alors $\forall M\in\mathcal D-\{H\},OM\gt OH=r$ donc $\mathcal D\cap\mathcal C=\{H\}$

si $OH\lt r$, alors pour $M\in\mathcal D$, par Pythagore, $OM=\sqrt{OH^2+HM^2}$, donc $OM=r$ si et seulement si $r^2=OH^2+HM^2\iff HM^2=r^2-OH^2\gt 0$ donc $HM=\sqrt{r^2-OH^2}$ et donc il y a deux solutions, $M_1,M_2$ à égale distance de $H$

(Projection orthogonale - Projeté orthogonal (géométrie), Théorème de Pythagore)

Exercices de construction

Soit $A,B$ deux points donnés et $\mathcal C$ le cerlce de diamètre $[AB]$
Construire $P\in\mathcal C$ et $Q\in[AB)$ tel que $(PQ)$ tangent à $\mathcal C$ et $2PQ=AB$

Analyse : égalités de longueurs avec le centre du cercle

Analyse : on suppose le problème résolu
Soit $O$ le centre de $\mathcal C$
Alors $$OA=OB=OP=PQ$$

De plus, rayon et tangente sont perpendiculaires
De plus $\widehat{OPQ}=\frac\pi2$

En déduire la nature du triangle $(OPQ)$
$(OPQ)$ est donc isocèle rectangle et $\widehat{POQ}=\widehat{QOP}=45°$

Programme : tracer la médiatrice
Programme : $$\mathcal C(A,B)\cap\mathcal C(B,A)=\{U,V\}$$ $(UV)$ médiatrice de $(AB)$
[[

Centre $O$ est l'intersection des deux droites
$$(UV)\cap(AB)=O$$ $O$ milieu de $[AB]$, centre de $\mathcal C$

Nommer les points d'intersection avec le cercle
$$(UV)\cap\mathcal C=\{X,Y\}$$

Tracer la bissectrice
$$\mathcal C(B,O)\cap\mathcal C(X,O)=\{O,Z\}$$ $(OZ)$ bissectrice de $\widehat{BOX}$

Nommer le point qui nous intéresse
$$(OZ)\cap\mathcal C=\{P,P^\prime\}$$
$P$ choisi "du bon côté"

Nommer l'autre point qui nous intéresse

$$\mathcal C(P,O)\cap(AB)=\{O,Q\}$$
par construction, $(OPQ)$ isocèle rectangle en $P$

Soit $A,B,C,D$ quatre points donnés
Construire, quand c'est possible, un cercle de rayon $AB$ tangeant au cercle $\mathcal C(A,B)$ et à la droite $(CD)$

Analyse : premières relations de longueur
Analyse : on suppose le problème résolu
Soit $\mathcal C_O$ le cercle de rayon $AB$ tangent à $\mathcal C(A,B)$ et à $(CD)$
Soit $O$ le centre de $\mathcal C_O$
On a $$OA=2AB\quad\text{ et }\quad d(O,(CD))=AB$$

Construire $A^\prime$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$
Programme :
$$(AB)\cap\mathcal C(B,A)=\{A,A^\prime\}$$

Construire le symétrique de $C$ par rapport à $D$ ($AA^\prime=2AB$)
$$(CD)\cap\mathcal C(D,C)=\{C,C^\prime\}$$

Construire la médiatrice à $[CC^\prime]$ (qui la coupe en $D$) ($(PQ)\ni D$ médiatrice de $[CC^\prime]$ et $(PQ)\perp(CC^\prime)$)
$$\mathcal C(C,C^\prime)\cap\mathcal C(C^\prime,C)=\{P,Q\}$$

Rapporter le cercle ($d(R,(CD))=d(S,(CD))=AB$)
$$\mathcal C(D,AB)\cap(PQ)=\{R,S\}$$

Soient $d_R,d_S$ les droites perpendiculaires à $(PQ)$ en $R$ et en $S$
Alors leur nombre d'intersections est :$$\#\lvert\mathcal C(A,A^\prime)\cap(d_R\cup d_S)\rvert\leqslant4$$ s'il y en a au moins une, on choisit $O\in\mathcal C(A,A^\prime)\cap(d_R\cup d_S)$
Alors $\mathcal C(O,AB)$ est solution du problème

Math'φsics

Formulaire de report