Bissectrice

# Définition

Définition :
La bissectrice (intérieure) d'un angle $\measuredangle AOB$ est la (demi-)droite $[BC)$ telle qu'on ait l'égalité des angles orientés $\measuredangle AOC=\measuredangle COB$
Définition :
La bissectrice extérieure d'un angle est la droite perpendiculaire à la bissectrice et qui passe par le sommet de l'angle
(Angle (géométrie), Droite perpendiculaire)

Construction

Propriétés

Lien entre bissectrices extérieures et intérieures

Proposition :
La bissectrice extérieure est la bissectrice intérieure de l'angle supplémentaire
(Angle (géométrie) supplémentaires)

Liens avec les cercles tangents

Proposition :
La bissectrice est l'ensemble des centres des cercles tangents aux deux côtés de l'angle
(Cercle)

Exercices

Soit $\triangle ABC$ un triangle non dégénéré
Montrer que les trois bissectrices sont concourantes. Montrer que leur point commun est le centre d'un cercle inscrit dans le triangle $\triangle ABC$, et qu'il n'y a qu'un seul tel centre (et un seul tel cercle)

Caractérisation des bissectrices par les distances $\to$ la 3e coupe les autres là où elles se coupent
Soient $\alpha,\beta,\gamma$ les bissectrices. $\alpha$ et $\beta$ se coupent en $\omega$
$$\begin{align} \omega\in\alpha&\implies d(\omega,(AB))=d(\omega,(AC))\\ \omega\in\beta&\implies d(\omega,(BC))=d(\omega,(BA))\end{align}\implies d(\omega,(AC))=d(\omega,(BC))$$
Donc $\omega$ est sur l'une des bissectrices en $C$ (forcément $\gamma$)

Cercle inscrit

Et si $r=d(\omega,(AB))=d(\omega,(BC))=d(\omega,(CA))$, alors $\mathcal C(\omega,r)$ est tangent à $(AB),(BC),(CA)$