On considère l'application \(f:{\Bbb R}_2[X]\to{\Bbb R}_2[X]\) définie par : \(f(P)(X)=P(1-X)\)

1. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \({\Bbb R}_2[X]\) et que c'est une involution (i.e. \(f\circ f=\operatorname{Id}\)). En déduire que \(f\) est un automorphisme de \({\Bbb R}_2[X]\)
2. Quelle est la matrice de \(f^*\) relativement aux bases canoniques duales ?

1° endomorphisme \(\to\) montrer la linéarité
$$\begin{align} f(\lambda P+\mu Q)&=(\lambda P+\mu Q)(1-X)\\ &=\lambda P(1-X)+\mu Q(1-X)\\ &=\lambda f(P)(X)+\mu f(Q)(X)\end{align}$$ \(f\) est donc un endomorphisme

Involution
$$\begin{align} f(f(P(x))&= f(P(1-X)\\ &= P(1-(1-X))\\ &=P(X)\end{align}$$ \(f\) est donc une involution

Mq bijectif via théorème de la bijection
Puisque \(f\) est bijective et \(f=f^{-1}\), alors \(f\) est un automorphisme d'après le théorème de la bijection

2° base duale via inversion de matrice

La base canonique de \({\Bbb R}_2[X]\) est \({\mathcal B}=(\underbrace1_{e_1},\underbrace X_{e_2},\underbrace{X^2}_{e_3})\)
Soit \((\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)\) la base duale à \({\mathcal B}\), \(\varphi_i(e_j)=\delta_{ij}\)
On a : $$\begin{align} f(1)&=1\\ f(X)&=1-X\\ f(X^2)&=(1-X)^2=X^2-2X+1\end{align}\implies A=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&-1&0\\ 1&-2&1\end{pmatrix}$$

(Théorème de la bijection)