Arctangente

Définition

La restriction $$\tan:{{\left[-\frac \pi 2;\frac \pi2\right]}}\to{{\Bbb R}}$$ est une bijection
Sa fonction réciproque est : $${{\arctan}}:{{\Bbb R}}\to{{\left[-\frac \pi 2;\frac \pi2\right]}}$$

(Fonction tangente, Restriction, Bijection, Fonction réciproque)

Formules utiles

Dérivée

$$({{\arctan x}})'={{\frac1{1+x^2} }}$$

Arctangente d'un inverse

$${{\arctan\frac1x}}={{\operatorname{sgn}x\times\frac\pi2-\arctan x}}$$
(Fonction signe, Fonction inverse)

Equivalence

$${{\arctan x}}\underset{ {{0}} }\sim {{x}}$$

Développement limité en 0

Développement limité à l'ordre $1$ en $0$ : $$\arctan x={{x}}+x\varepsilon(x)$$ Développement limité à l'ordre $2$ en $0$ : $$\arctan x=x+{{0}}+x^2\varepsilon(x)$$ Développement limité à l'ordre $3$ en $0$ : $${{\arctan x}}=x+{{-\frac{x^3}3}}+x^3\varepsilon(x)$$

Valeurs particulières

$$\arctan\left({{0}}\right)={{0}}$$
$$\arctan\left({{\frac1{\sqrt3} }}\right)={{\frac\pi6}}$$
$$\arctan\left({{1}}\right)={{\frac\pi4}}$$
$$\arctan\left({{\sqrt3}}\right)={{\frac\pi3}}$$
$$\arctan\left({{\infty}}\right)={{\frac\pi2}}$$

Math'φsics